انتگرالی با دو جواب!!!

یکی از خواننده‌های وبلاگ، سوالی را مطرح کرده بودند با این عنوان که چرا انتگرال زیر دارای ٢ جواب متفاوت است؟ و کدام جواب صحیح است؟

ایشان در اولین راه حل خود (tan(x را برابر با u گرفته و لذا (du=sec2(x شده بود و انتگرال به صورت زیر تبدیل شده بود:

و در دومین راه حل خود (cos(x را برابر با u گرفته و لذا (du=-sin(x شده بود و انتگرال به صورت زیر تبدیل شده بود:

مشاهده می کنید که علیرغم درست بودن هر دو راه حل (خودتان امتحان کنید!) جواب آخر با هم متفاوت است.

وقتی با این مساله برخورد کردم در وهله اول مساله را دوباره حل کردم و متوجه شدم که هر دو راه درست است. گفتم پس حتما باید .................. (کمی فکر کنید! بعد از اینکه جواب آخر یک انتگرال، دو مقدار متفاوت بدست می آید، پس حتما چه مساله ای این وسط وجود دارد؟)

.

.

.

.

.

.

بله..! جواب های آخر فقط و فقط در یک ثابت ساده، یعنی همان C با هم تفاوت دارند. اگر به (tan2(xعدد 1 را بیفزایید و سپس 1 را برابر با کسر (cos2(x)/cos2(x قرار دهید، (sec2(x بدست می آید.

(البته قبل از اینکه مقدار ثابت را بیابم، دو نمودار را روی کاغذ رسم کردم و دیدم انگار به اندازه 1 واحد با هم فاصله دارند. با نرم افزار GeoGebra هر دو را رسم کردم و دیدم کافی است دومین تابع را به اندازه 1 واحد به بالا ببرم تا نمودارش کاملا بر روی نمودار اولین تابع منطبق شود.)

خوب، پس:
هرگاه در حل یک انتگرال به دو جواب متفاوت رسیدید (اگر از صحیح بودن حل خود مطمئن هستید) بکوشید ثابت کنید که جواب های بدست آمده فقط در یک ثابت عددی با هم تفاوت دارند.

یا حق! 

/ 14 نظر / 20 بازدید
نمایش نظرات قبلی
برنا ارضی

نه منه میشه فارسی بنویسید که ما هم بفهمیم[سوال][سوال][سوال][سوال]

ریاضی معما و سرگرمی

سلام به آقا میلاد عزیز[قلب] جالب بود و آموزنده[دست] میخواستم اگر اجازه بدین برای اینکه علاوه بر وبلاگ گروهی مون اینجا هم بهتون سر بزنم و به نوعی همیشه در دسترس باشین این وبلاگتون رو لینک کنم. فقط لطف کن و بگو با چه اسمی لینک کنم؟ آخه اینجا نوشته ریاضی=ریاضیات::ریاضیات زیباست ولی بنظر میاد ریاضیات زیباست اسم اصلی باشه نه؟[سوال] با تشکر :محسن [قلب]

فرید

سلام دوست من وبلاگ زیبا و پر محتوایی داری اگه مایل به تبادل لینک بودی من رو با نام ×××نجوم و فیزیک××× لینک کنید سپس به ما بگویید با چه نامی لینکتان کنیم

پری

وبلاگ جالب و خشکیه ... مطالبش خیلی به درد میخوره امااحساس نمیکنید که خیلی ... خلاصه مر30[لبخند][گل][لبخند][گل][ابرو]

ریاضی معما و سرگرمی

نرم افزار ریاضی(ضرب اعداد طبیعی) Number's Multiple v:1.0.0 مخصوص دانش آموزان دوره ابتدایی و کلاس اول راهنمایی مقدمه: همونطور که از اسم این نرم افزار معلومه مربوط به تقویت و تثبیت مهارت ضرب اعداد در دانش آموزان دوره ابتدایی هست. این نرم افزار رو بنا به درخواست و پیشنهادات تنی چند از دوستان و عزیزان رهیار طراحی کردم. از شما ، دوست و استاد ارجمند دعوت می کنم برای خوندن ویژگیهای نرم افزار و دانلود اون با حجم 870 کیلو بایت ناقابل [رضایت] به رهیار افتخار دهید و با نظرات کارشناسی خودتون ما رو مستفیض کنید یا حق

1020

سلام وقتی دیدم ریاضی محض میخونید، خیلی مایل شدم که براتو نظر بزارم. وبتون جالبه و مطالب ریاضی سرتا سرش رو فرا گرفته. خوشحال میشم به وب منم سر بزنید.

یک معلم ریاضی

سلام .نکته ی جالبی بود.مخصوصا که تذکر داده بودید با جئو جبرا هم رسم بشه . ولی من هم از راه رسم و هم از راه حل کردن مساله به این نتیجه رسیدم که ثابت مساله 5/0 است.

omid rahmani

میلاد عزیز سلام.با اجازه شما وبلاگتون رو به لیست پیوندهای خودم اضافه کردم وبلاگ شما برای من خیلی جالب است.

vida sepehri

سلام من اولین باره که به وبلاگ ریاضی شما سر میزنم این مساله جواب انتگرال خیلی قشنگ بود