خلاصه‌ای از ریاضیات 3

سلام

وقتی شما با یه میدان برداری روبرو می‌شید که قراره تو اون میدان، کار انجام شده توسط یک ذره که روی یک خم در حال حرکت است رو حساب کنید، چه می کنید؟

ممکنه اولین بار برید سراغ اینکه ببینید آیا میدان پایستار (همون ابقایی) است یا نه و در واقع curl میدان رو حساب کنید تا اگر پایستار بود فوری تابع پتانسیل رو بدست بیارید و پتانسیل نقطه آخر رو از پتانسیل نقطه اول کم کنید.

خوب، این بدک نیست. اما به شرطی که میدان شما پایستار باشه. مثل میدان برداری گرانش زمین و یا میدان برداری الکتریکی حاصل از بار یک ذره.

اما اگر میدان پایستار نشد چی؟ اگر curl میدان رو حساب کردین و دیدین که صفر نشد چی؟

لابد سراغ تعریف می روید که انتگرال  f(a(t)).a`(t) dt رو حساب کنید.

خوب اگر انتگرال مزبور ساده باشد، روش جالبی است (که معمولا هم ساده است) اما فقط کمی طولانی است. بخصوص گاهی ممکنه خم رو به شما بصورت پارامتری شده نداده باشند و شما مجبور باشید که خم رو پارامتری کنید. اونوقت زمان بیشتری از شما خواهد برد.

اما اگر یک لحظه دست نگهدارید و تا curl میدان صفر نشد فوری به سراغ استفاده از تعریف نروید می توانید قضیه گرین (green) را به کمک بگیرید.

اگر خم شما بسته باشد و در صفحه xy باشد (میدان برداری شما هرچه می خواهد باشد) انتگرال کار روی خم تبدیل به یه انتگرال دو گانه می شود که شما از curl میدان روی ناحیه محصور شده توسط خم مزبور، انتگرال می گیرید.

اگر y-منظم کردن و x-منظم کردن ناحیه رو بلد باشید این روش گاهی به نتایج بسیار سریعتری نسبت به روش قبلی منجر می شود. (شخصا به روش گرین اعتقاد بســــــیار دارم!!) حتی اگر ناحیه دشوار باشد می توانید از تبدیل قطبی استفاده کنید.

حالا هدف از این حرف ها چی بود؟

نکته: ما یه تعریف زوج و فرد برای توابع داریم که همگان بلدند و نیازی به توضیح نیست. اگر تابع شما نسبت به یک متغیر فرد باشد و ناحیه انتگرالگیری شما نسبت به همان متغیر زوج باشد، حاصل انتگرال قطعا صفر است.

(دید شهودی: زوج بودن ناحیه نسبت به x یعنی ناحیه شما نسبت به محور y ها متقارن باشد و همینطور نسبت به y ها زوج بودن یعنی ناحیه نسبت به محور x ها متقارن باشد. مثلا دایره نسبت به هر دو محور زوج است. مثلا نیم دایره بالایی فقط نسبت به محور y ها متقارن است پس فقط نسبت به x زوج است. پس انتگرال دوگانه از تابعی که نسبت به x فرد باشد - مانند x(1-x^2)y^2 - حاصلش صفر است.)

خوش باشید.

/ 6 نظر / 14 بازدید
همسرت

عمیق خواندنت زیباست ... و اینکه شهود می کنی اشکال بی جان کتاب را... یک صفحه می خوانی و هزاران صفحه می فهمی....! زیبا فهمیدنت زیباست.............

مريم

سلام لطفا در نظراتي كه دو بار در يك قسمت فرستادم نظري را تاييد كن كه بيت دوم شعر اينه : چون علي آمد آن بي نهايت وصف شد

سما

سلام واقعاً احسنت آفرین به شما،خدا چی آفریدی،شما با این سنتون این همه کار انجام دادین،من که خداییش کلی خجالت کشیدم. واقعاً آفرین. [گل][گل][گل]

شیرین فریدونیان

با سلام.... تحسین می کنم پشت کارتون در بلاگ نویسی..در ضمن .. وبلاگم رو برای آخرین بار آپدیت کردم.. با سپاس

ابوذر

بسیار پرکار. لطفا از تاریخ علم در گستره ی ریاضیات نیز بنویسید.

شهلا

درود بر تو با این همه تلاش