در مورد تابع عضويت و درجه عضویت

بعضی از دوستان در مورد تابع عضويت و درجه عضويت در یک مجموعه فازی سوال‌هايی پرسيده بودند و من هم برای آنکه با خيال آسوده‌تری بتوانم مطالب فازی را دنبال کنم، تصميم گرفتم تا بطور تقريباً جامع به اين مفاهیم اوليه بپردازم تا همه در مورد آنها دیدگاه مشترک و يکسان داشته باشيم. سپس «احتمال فازی» را دنبال خواهم کرد...

الف) از نگاه تابع مشخصه :

وقتی ما با یک مجموعه معمولی سر و کار داریم مثلاً مجموعه‌ی {A={ ۱ , ۲ , ۳ , ۴ , ۵ (که زير مجموعه‌ای از اعداد طبيعی است) برای این مجموعه می‌توانیم یک تابع X به اسم تابع نشانگر یا تابع مشخصه (charactristic function) در نظر بگیریم که به اینصورت تعریف می شود:

اگر a عضو A باشد                    آنگاه     X(a) = ۱
اگر a عضو A نباشد                    آنگاه     X(a) = ۰

این تابع عدد دلخواه a را می‌گیرد. حالا اگر این عدد عضو مجموعه‌ی A بود به آن عدد ۱ را نسبت می‌دهد و اگر عضو مجموعه A نبود، عدد ۰ را... مثلاً برای مجموعه‌ی A که در بالا ذکر کردیم: 

X(۹)=۰                         ولی                        X(۲)=۱

بدیهی است که یک مجموعه را می‌شود با کمک تابع مشخه‌اش کاملاً معلوم کرد. یعنی اگر من به شما بگویم که مجموعه‌ای دارم که تابع نشانگر آن برای اعداد ۱ و ۶ و ۹ و ۱۳ برابر ۱ است و برای سایر اعداد برابر ۰ است، شما سریعاً متوجه می‌شوید که منظور من مجموعه‌ای است با اعضای ۱ و ۶ و ۹ و ۱۳  بصورت روبرو :‌                 {A={ ۱ , ۶ , ۹ , ۱۳

حالا تفاوتی که یک مجموعه فازی با مجموعه معمولی دارد اینست که به جای اینکه تابع نشانگر ما اعدادی را که می‌گیرد فقط به دو عدد صفر و یک نسبت دهد، آنها را به تمام اعداد حقیقی‌ای که در بازه [۱و۰] قرار دارند می‌تواند نسبت دهد.

مثلاً می‌تواند یک عضو دلخواه را به ¾ نسبت دهد یا به ½ یا به ⅜ و غیره... یعنی دیگه اینجا محدود به دو عدد ۰ و ۱ نیستیم. بلکه دستمان بازتر شده و می‌توانیم آن عدد دلخواه را به هریک از اعداد حقیقی که از ۰ تا ۱ هستند نسبت دهیم.
در این حالت مجموعه A را یک مجموعه فازی می‌نامند.

ب) از نگاه ویژگی‌های مجموعه

از سال اول دبیرستان برای مجموعه‌های معمولی خواندیم که مجموعه گردآیه‌ای از اشیاء مشخص و متمایز است که همه دارای یک صفت معین هستند. در واقع بدلیل آنکه همه‌ی آن اشیاء دارای آن خاصیت و صفت بوده‌اند آنها را در آن مجموعه قرار داده‌ایم. و در ضمن برای هر شی دلخواه هم می‌توانیم با قطعیت بگوییم که آیا به مجموعه ما تعلق دارد یا خیر؟ (یعنی بررسی می‌کنیم که آیا آن صفت مشترک در اعضای مجموعه که به خاطر آن این اعضا گردهم آمده‌اند را دارد یا نه؟ اگر داشت که در مجموعه هست و اگر نه که نیست. )

مثلاً مجموعه E مجموعه اعداد زوج باشد. برای هر عدد می‌شود بررسی کرد که آیا زوج است یا خیر و بعد با قطعیت گفت که پس آیا در E می‌تواند باشد یا نه؟

اما در مجموعه فازی صفت مورد نظر ما که اعضای مجموعه را گرد هم می‌آورد دیگر مثل قبل، حالت مشخص و معین ندارد. بلکه یک واژه توصیفی است. مثلاً «کوچک بودن»، «بزرگ بودن»، «سرد بودن» و ... این واژه‌ها : 
اولاً :‌ نزد همه دارای تعریف مشخص نیست. مثلاً اگر به یک نفر بگویم عدد زوج می‌تواند بفهمد که عدد ۳ زوج نیست. اما اگر بگوییم «بزرگ‌تر بودن» برایش واضح نیست و از ما می‌پرسد: نسبت به چی بزرگ‌تر است؟
ثانیاً: اگر در بین یکسری از اشیائی که در اختیار داریم مثلاً بخواهیم صفت سرد بودن را در نظر بگیریم. هرچه آن شی دلخواه سردتر باشد عدد بزرگتری (از مجموعه ۰ تا ۱) را به آن نسبت می‌دهیم و هرچه گرمتر باشد، عدد کوچکتری را...

این عدد نسبت داده شده را درجه عضویت آن شی در آن مجموعه می‌نامند. پس یعنی هرچه یک شی درجه عضویتش به ۱ نزدیک‌تر باشد سردتر است و هرچه درجه عضویتش به ۰ نزدیک‌تر باشد گرمتر است.
تابعی که هر عضو را به درج عضویتش می‌برد و در واقع به هر عضو، وابسته به میزان دارا بودن آن صفت مورد نظر، درجه‌ای (عددی از ۰ تا ۱) را نسبت می‌دهد تابع عضویت نام دارد. معمولاً تابع عضويت را با حرف μ نشان می‌دهند. مثلاً به اين صورت:     ۵/۰ = (۳)μ

يک مثال مهم:

مثلاً مجموعه مرجع را به اينصورت در نظر بگيريد: {M={۱ , ۲ , ۳ , ۴ , ۵ و فرض کنید که زیر مجموعه‌ای مانند B از M را با صفت «بزرگ بودن» می‌خواهیم تشکیل بدهیم. 

همانطور که قبلاً گفتیم می‌شود یک مجموعه را با تابع مشخصه‌اش کاملاً معلوم کرد. اینجا هم می‌توانیم از «درجه عضویت» کمک بگیریم و اعضای مجموعه B را با کمک میزان عضویت هر یک از اعداد ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ در این مجموعه مشخص کنیم. (یعنی معلوم کنیم که هر عدد تا چه اندازه دارای صفت بزرگ بودن بوده و تا چه حد متعلق به B خواهد بود)

برای اینکار می‌شود درجه عضویت هر عضو را بصورت زیر تعریف کرد:

۰ = (۱)μ
۲۵/۰ = (۲)μ
۵/۰ = (۳)μ
۷۵/۰ = (۴)μ
۱ = (۵)μ

ذکر این نکته ضروریست که در مورد درجه‌های عضویت گفته شده، این اعداد منحصر به فرد نبوده و بر حسب نوع کاربردی که در نظر داریم تعریف می‌شود (که بحث‌اش مفصل است!) اما مثلاً اینجا می‌توانستیم به عدد ۲ درجه ۳/۰ و به عدد ۳ درجه ۴/۰ و ... را نسبت دهیم.
ضمناً این اعداد نشان می‌دهند که در مجموعه یاد شده، عدد۵ دارای بیشترین مقدار بزرگی بوده و عدد ۱ دارای کمترین مقدار بزرگی است.

اکنون تابع عضویت ضابطه‌ای است که هر عضو را به درجه‌اش نسبت می‌دهد. یعنی به جای آنکه برای تک‌تک اعضا بیاییم درجه عضویت را مشخص کنیم، یک ضابطه‌ای را بنویسیم که هر عضو با قرار گرفتن در آن به درجه عضویتش نسبت داده شود. برای مثال بالا ضابطه این تابع اینگونه است:

μ = ( x - 1 ) / 4 

نحوه مشخص کردن یک مجموعه فازی:

از آنجایی که اعضای یک مجموعه فازی، همه با یک نسبت عضو این مجموعه نیستند لازمست تا در هنگام مشخص کردن این مجموعه، به درجه عضویت اعضا نیز توجه شود. بنابراین یک مجموعه فازی را بدین صورت مشخص می‌کنند:

B = { ( x , μ(x) ) ;  x e M }

یعنی بصورت زوج مرتب‌هایی که مولفه اول آن عضو مربوطه و مولفه دوم آن درجه عضویت آن عضو می‌باشد.

به عنوان مثال مجموعه B چنین خواهد بود:

B = { ( 1 , 0 )  ,  ( 2 , 0.25 )  ,  ( 3 ,  0.5 )  ,  ( 4 , 0.75 )  ,  ( 5 , 1 ) }

***

بدلیل طولانی شدن این پست، تعداد یادداشت‌های وبلاگ رو ۲ تا قرار دادم. و در ضمن نوشتن شرح حال خواجه نصیرالدین طوسی رو نیز از پست بعدی انجام می‌دهم...

در یادداشت بعدی بدون هیچ‌گونه توضیح دیگری از مفاهیم اولیه و واضحات گفته شده می‌گذرم و سراغ احتمال فازی خواهم رفت و ترکیب شگفت‌انگیز و ساده این دو نظریه را نشان خواهم داد....

منتظر یادداشت‌های زیبایی که در راه است باشید . . .  

> برای او که دلم را به سوی خود خوانده است...
> Google  و ریاضیات